KONWIHR

Kompetenznetzwerk für wissenschaftliches Höchstleistungsrechnen in Bayern

Inhalt

Matrix-Free Finite Cell Method

Antragssteller

Prof. Dr. Ernst Rank
Computation in Engineering
TU München

Projektübersicht

Das beantragte Forschungsprojekt verfolgt das Ziel, eine parallele, effiziente und skalierbare Software für die Finite Cell Methode (FCM) zu entwickeln. Zu diesem Zweck werden hybride Parallelisierungsansätze in Kombination mit matrizenfreien, iterativen Lösungsverfahren entwickelt werden, die die Besonderheiten der FCM berucksichtigen. Grundlage der vorgesehenen Arbeiten ist der bestehende und teilweise bereits parallelisierte Code AdhoC++.

Die FCM ist eine neuartige, vielseitige Diskretisierungsmethode für die effiziente numerische Berechnung partieller Differentialgleichungen im Bereich der Struktur- und Fluidmechanik auf Berechnungsgebieten mit toplologisch und geometrisch komplexer Struktur. Ein Anwendungsbeispiel aus der Biomechanik: ein gemessenes Verformungsbild eines Wirbelkörpers. Dessen hinreichend genaue numerische Berechnung ist mit konventionellen Methoden aufgrund der sehr komplexen Mikrostruktur des Wirbelkörpers derzeit nicht oder nur mit extrem hohem Rechenaufwand möglich.

Zweifelsohne kann aber ein geeignetes Rechenmodell Aufschluss über das mechanische Verhalten von Wirbelkörpern geben und z.B. eine Einschätzung erlauben, inwieweit eine Schwächung durch Osteoporose vorliegt. Auch zur Bemessung von Schrauben für eine Wirbelkörperverblockung sind Modelle der numerischen Mechanik wünschenswert. Klassische Finite Elemente Verfahren für diese Art der Problemstellung sind voxel-basiert, das heißt pro Voxel wird ein finites Element benötigt. Damit explodiert die Anzahl der notwendigen Freiheitsgrade für hoch aufgelöste Strukturen in drei Dimensionen. Die Methode der Finiten Zellen (FCM) hingegen erlaubt eine um bis zu drei Größenordnungen kleinere Anzahl an Freiheitsgraden bei mindestens gleicher Genauigkeit und bietet daher die Möglichkeit entsprechende Vorhersagemodelle mit einer extremen geometrischen Detaillierung zu liefern. Dieser Vorteil der FCM resultiert aus einer Kombination aus Finiten Elementen hoher Ordnung und Fictitious Domain Methoden. Wie bei der klassischen Finite Element Methode entstehen bei hoher geometrischer Auflösung allerdings extrem große, dünn besetzte Gleichungsysteme mit entsprechend großen Anforderungen an den Speicherplatz. Klassische Parallelisierungsverfahren wie Gebietszerlegungsmethoden mit einer (subdomain-bezogenen) Teil-Assemblierung führen schnell an ihre Grenzen und skalieren nur bis zu einer moderaten Zahl von Prozessoren. Zusätzlich zeigen diese Matrizen aufgrund ihrer dünnen, jedoch unstrukturierten Belegung eine eher schlechte Auslastung moderner Rechnerarchitektur z.B. bei der Multiplikation mit Vektoren oder der Berechnung von Matrixnormen.